\(2^3\)은 ‘2의 3승’이라 읽는다1. 그런데 \(_{}^{3}\textrm{2}\)은 어떻게 읽는가?
\(_{}^{3}\textrm{2}\)는 지수형태로 나타내면 \(2^{2^{2}}\)이며, 이렇게 지수 위에 지수를 쌓는 형태의 연산을 ‘tetration’이라 한다. tetration은 ‘이런 연산도 있다’는 정도로 설명 할 때 말고는 쓰이는 경우가 거의 없는데, 그래서 그런지 그에대한 명명법 또한 잘 정립되어있지 않는것 같다.
예를들어 한글 위키피디아 설명을 따르자면, \(_{}^{3}\textrm{2}\)은 ‘2의 3번째 테트레이션’이라 읽는다. \(2^3\)를 ‘2의 3번째 지수연산’이라고 읽는다 생각해보라 — 이는 너무나 길고 비효율적인 표현방법인 것이다. 뿐만아니라 tetration을 지수용어로 명명하는데도 상당한 어려움이 있는데, 예를들어 ‘\(3^{3^{3}}\)’는 ‘3의 3승의 3승’ 혹은 ‘3의 3제곱의 3제곱’이라 표현 할 수 없다. 이는 \(\left ( 3^3 \right )^3\)으로 그 값이 \(3^{9}\)이지만, 실제 \(3^{3^{3}}\)의 값은 \(3^{27}\)이다. \(3^{3^{3}}\)을 지수표현으로 말하면 ‘밑은 3이고 3의 3승을 지수로하로 하는 수’정도가 될 수 있는데, 이 또한 너무나 길고 비효율적인 표현이다.
그래서 필자는 tetration에 대해 훨씬 더 경제적이고 직관적인 표기법을 하나 제안하고자 한다 :
\(_{}^{b}\textrm{a}\)을 ‘\(a\)의 \(b\) 층’이라고 부르는것이 어떨까?
이런 표현은 기본적으로 ‘아파트 몇 층’ 할 때 그 ‘층’이라는 단어를 통해 지수를 층층이 쌓는 tetration 연산의 형태를 나타낸다. 또한, 지수연산에 대한 ‘승’과 유사한 표현을 사용함으로써, 그것이 hyperoperation상에서 지수연산 다음에 해당한다는 의미를 암시하고 있다.
이런식의 표기를 쓴다면 \(_{}^{3}\textrm{2}\)는 ‘2의 3층’, \(_{}^{3}{i}\)은 ‘\(i\)의 3층’, \(_{}^{\infty}\sqrt{2}\)는 ‘루트2의 무한층’이라고 말 할 수 있는 것이다2 3,
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- 아마 현행 교과서에서는 ‘2의 3제곱’이라는 표현을 표준 명명법으로 가르치는것 같은데, 필자는 ‘제곱’보다 ‘승’이라는 표현를 선호한다. 이는 다른게 아니라, 그저 그것이 말할때 더 편하기 때문이다. 지수표현은 너무나 자주 쓰이기 때문에, 아주 심각한 문제가 아니라면 글자수도 많고 말하기 더 어려운 명명법을 굳이 쓸 이유가 없다고 생각한다.[^]
- 사실, \(\sqrt[3]{2}\)은 그 표기만으로 \(\sqrt{2}\)의 3층인지, \(\sqrt{2}\)의 세제곱근인지 알 수가 없다. 이러한 표기의 모호성 또한 tetration이 얼마나 덜 쓰이는 연산인지를 보여주는 하나의 사례인 것 같다.[^]
- 비록 이런 표현이 ‘\(3^{3^{4}}\)’같은 수에 까지 적용되진 못하지만, 그건 ‘\(3 \times 3 \times 3\times 4\)를 ‘3의 \(n\)승’이라고 간단하게 나타내지 못하는것과 마찬가지 이다.[^]