양자역학에서 어떤 임의의 연산자 \(\textbf{L}\)이 다음 조건을 만족할때, 우리는 그것을 ‘hermitian operater’라고 부른다 : $$\braket{\Phi|\textbf{L}|\Psi} = \braket{\Psi|\textbf{L}|\Phi}^*$$
운동량 연산자 \(\hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}\)는 hermitian인가? 우리는 1차원 공간에 존재하는 임의의 파동함수 \(\psi(x)\)와 \(\phi(x)\)에 대한 다음의 내적계산을 통해 그 질문에 답할 수 있다 : $$\begin{align}\braket{\phi|\hat{p}|\psi} &= \int_{-\infty}^{+\infty} \phi^*(x) \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}\psi(x)dx \\ &= \frac{\hbar}{i} \phi^*(x)\psi(x) |_{-\infty}^{+\infty} – \int_{-\infty}^{+\infty} \psi (x)\frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \phi^*(x)dx\end{align}$$
\(\psi(x)\)와 \(\phi(x)\)의 크기제곱이 확률밀도를 나타낸다면, \(\pm \infty\)에서의 그 값은 0이므로, 첫번째 항은 사라진다. 두번째항은 \(\braket{\psi|\hat{p}|\phi}^*\)이므로 운동량 연산자 \(\hat{p}\)는 hermitian operator이다. 이는, 부분적분 계산에서 미분대상을 바꿀때 나오는 마이너스 부호가 운동량 연산자의 허수 \(i\)에 complex cojugation을 취하는 효과를 주면서 나오는 결과이다.
이러한 결론을 내리는데 있어 필수조건은 파동함수가 Hilbert space에 속해있어야 한다는 사실이다. 위 계산과정에서 보자면, \(\hat{p}\)의 hermicity를 결정하는데 있어 \(x=\pm \infty\)에서의 파동함수 값이 0이란 사실이 필수적이란 말이다.
그런데 미분의 정의를 이용하면, 위와 같은 적분없이 \(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\)자체를 독립적인 행렬로 나태낼 수 있다. 이때 미분연산자 \(\frac{d}{dx}\)는 반대칭행렬로, 그것의 hermitian conjugate를 취하면 마이너스 부호가 튀어나온다 : \( \left ( \frac{d}{dx} \right )^{\dagger} = -\frac{d}{dx}\). 이 마이너스와 허수 \(i\)의 complex conjugation으로 튀어나오는 마이너스가 서로 곱해짐으로써 운동량연산자 \(\hat{p}\)는 행렬형태에서도 hermitian일 수 있는 것이다 : $$\left( \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx} \right)^{\dagger} = \frac{\hbar}{-i} \times -\frac{d}{dx} = \frac{\hbar}{i} \frac{d}{dx}$$
미분이나 적분이나, 어떤식으로 정의하더라도 운동량 연산자의 근본적 성질은 변하지 않으므로, 당신은 상당히 만족스런 미소를 지으며 이 결과를 감상 할지도 모르겠다.헌데 가히보면, 위 두가지 방식에서 \(\hat{p}\)의 hermicity를 결정하는 요인은 같지 않다.
‘적분식 정의’에서 \(\hat{p}\)의 hermicity는 파동함수의 성질에 좌우된다. 그것들이 \(\pm \infty\)에서 0으로 얌전히 decay 해야만 부분적분의 첫번째 항이 사라질 수 있기에, \(\hat{p}\)는 그런 조건을 만족하지 않는 파동함수에 대해선 hermitian 조건을 만족하지 못한다.
하지만 미분연산자 자체를 행렬로 다루는 ‘미분식 정의’에서는 파동함수가 어떻든 상관없이 \(\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\)자체가 독립적으로 hermitian operator이다. 그렇다면 적분식 정의에서 있었던 그 조건은 무슨의미인가? 파동함수가 hilbert space에 있던말던 운동량 연산자는 hermitian operator 일 수 있단 말인가?
분명 ‘미분식 정의’에서 \(\hat{p}\) hermicity는 파동함수의 거동과 무관하다. 다만, 여기에서는 ‘미분연산자 자체가 무한행렬이어야 한다’는 조건이 있다. 만약 미분계수를 \(\frac{f(x_{n+1}) – f(x_{n-1})}{h}\)로 정의하고 좌측에 유한한 시작점이 있다면, 미분행렬의 1행 1열의 값은 0이 아니라 \(-1\)이 되면서 반대칭행렬이 될 수 없다. 유한한 영역에 대해서 \(\frac{d}{dx}\)가 반대칭이기 위해선, 분명 해당영역이 ‘닫혀있어야 한다’는 조건을 만족해야 할것이다. 그렇게 해야 \(x_n\)에 대한 인접한 영역들이 끊어지지 않고 무한히 계속 될 수 있을 것이다. 하지만 이런 조건은 ‘공간자체에 대한 조건’이지, ‘파동함수에 대한 조건’은 아니다.
뉴튼 역학/라그랑지 역학/해밀턴 역학은 서로 다른 형태를 가지지만, 적어도 고전역학에서 보다면 동일한 물리적 의미를 가진다. 하지만, 같은의미라 해서 라그랑지/해밀턴 역학의 소용이 없어지는 것은 전혀 아니다. 그것들의 ‘형태’는 이후 이론물리 발전에 지대한 영향을 끼쳤다.
위와 같은 운동량연산자에 대한 조건은 우리 자연과 우주에 대해 어떤 의미를 가지고 있을까? 우주의 시작점에서는 시공간 자체가 매우 한정적이었다. 그때 우주전체를 기술하는 이론에서 \(\hat{p}\)의 hermicity는 무엇에 기인하는가? boundary인가 파동함수인가? 그리고 그 각각의 의미는 무엇인가?
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