(본 포스팅은 영상 <양자역학에서 발견한 시뮬레이션 우주>에 대한 참고자료 입니다.)
미분행렬1의 여러가지 형태
미분계수는 다양한 방법으로 정의 할 수 있으므로, 미분행렬의 형태도 그에 따라 다양한 형태를 가진다 (편의상 리미트기호는 생략하며, \(\epsilon\)은 0에 무한히 가까운 수 이다.).
| 미분계수의 정의2 | 미분행렬 |
| \[f'(x) = \frac{f(x+\epsilon)-f(x-\epsilon)}{2\epsilon}\] |
\[\frac{1}{2\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱& & & & & & \\ & 0&-1 &0 &0 &0 & \\ & +1&0 &-1 &0 &0 & \\ \cdots &0 &+1 &0 &-1 &0 &\cdots \\ &0 &0 &+1 &0 &-1 & \\ &0 &0 &0 &+1 &0 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\] |
| \[f'(x) = \frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}\] |
\[\frac{1}{\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱& & & & & & \\ & -1&0 &0 &0 &0 & \\ & +1&-1 &0 &0 &0 & \\ \cdots &0 &+1 &-1 &0 &0 &\cdots \\ &0 &0 &+1 &-1 &0 & \\ &0 &0 &0 &+1 &-1 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\] |
| \[f'(x) = \frac{f(x)-f(x-\epsilon)}{\epsilon}\] |
\[\frac{1}{\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱& & & & & & \\ & +1&-1 &0 &0 &0 & \\ & 0&+1 &-1 &0 &0 & \\ \cdots &0 &0 &+1 &-1 &0 &\cdots \\ &0 &0 &0 &+1 &-1 & \\ &0 &0 &0 &0 &+1 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\] |
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\[f'(x) = \frac{-f(x+2\epsilon)+8f(x+\epsilon)-8f(x-\epsilon)+f(x-2h)}{12\epsilon}\] |
\[\frac{1}{12\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱ & & & & & & \\ & 0&-8 &+1 &0 &0 & \\ & +8&0 &-8 &+1 &0 & \\ \cdots &-1 &+8 &0 &-8 &+1 &\cdots \\ &0 &-1 &+8 &0 &-8 & \\ &0 &0 &-1 &+8 &0 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\] |
위 미분행렬 중 첫번째와 네번째는 양자역학교재에 나오는 식인 ‘\(\frac{d}{dx}^{\mathrm{T}}=-\frac{d}{dx}\)’을 만족하지만, 두번째와 세번째는 아니다. 이런걸 보면 연산자를 행렬형태로 나타내는데 문제가 있지 않나 느껴지지만, 미분행렬의 의미를 곰곰히 생각해보면 그렇지만도 않다. 두번째 미분행렬의 전치행렬은 세번째 미분행렬과 부호가 반대이다. 그리고 세번째 미분행렬은 두번째 미분행렬과 형태는 다르지만 그 역할은 정확히 같다. 즉 – 두번째 미분행렬의 전치행렬이 비록 자기자신과 반대부호가 되지는 않지만, ‘미분연산자의 반대부호’인것은 사실이다. 그런 각 행렬의 ‘의미’를 기준으로 본다면, 모든 미분행렬은 관계식 ‘\(\frac{d}{dx}^{\mathrm{T}}=-\frac{d}{dx}\)’을 만족한다.
‘위치행렬’의 형태
양자역학에서 운동량 \(p\)는 좀 쌩뚱맞게 운동량 연산자 \(\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}\)로 대응되지만, 위치에 대한 연산자 \(\hat{x}\)는 그냥 변수 \(x\) 그 자체로써 파동함수 앞에 곱해진다. 이런 점을 감안하면 위치연산자에 대응하는 행렬은 다음과 같은 형태를 가져야 한다 : \[\begin{pmatrix} ⋱& & & & & & \\ & x_{n+2}&0 &0 &0 &0 & \\ & 0& x_{n+1} &0 &0 &0 & \\ \cdots &0 &0 &x_{n} &0 &0 &\cdots \\ &0 &0 &0 &x_{n-1} &0 & \\ &0 &0 &0 &0 &x_{n-2} & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\]
즉, 위치행렬은 모든 함수값 \(f(x_{n})\)에 해당 위치좌표의 값 \(x_{n}\)을 곱해주는 역할을 하며, 미분연산자와는 다르게, 그것의 형태는 단일한 것으로 보인다.
위치행렬과 운동량행렬의 commutation
위치행렬과 운동량행렬의 형태를 찾았으니, 그것들이 양자역학의 ‘canonical commutation relation (\(\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i\hbar\))’을 만족하는지 확인해보자.
필자는 다음과 같은 운동량연산자 형태를 선택하겠다 : \[\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱ & & & & & & \\ & 0&-1 &0 &0 &0 & \\ & +1&0 &-1 &0 &0 & \\ \cdots &0 &+1 &0 &-1 &0 &\cdots \\ &0 &0 &+1 &0 &-1 & \\ &0 &0 &0 &+1 &0 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\]
위치연산자와 운동량연산자를 서로 다른 순서로 곱해보자 : \[\hat{x}\hat{p} = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱ & & & & & & \\ & 0&-x_{n+2} &0 &0 &0 & \\ & x_{n+1}&0 &-x_{n+1} &0 &0 & \\ \cdots &0 &x_{n} &0 &-x_{n} &0 &\cdots \\ &0 &0 &x_{n-1} &0 &-x_{n-1} & \\ &0 &0 &0 &x_{n-2} &0 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\]
\[\hat{p}\hat{x} = \frac{\hbar}{i}\frac{1}{2\epsilon}\begin{pmatrix} ⋱ & & & & & & \\ & 0&-x_{n+1} &0 &0 &0 & \\ & x_{n+2}&0 &-x_{n} &0 &0 & \\ \cdots &0 &x_{n+1} &0 &-x_{n-1} &0 &\cdots \\ &0 &0 &x_{n} &0 &-x_{n-2} & \\ &0 &0 &0 &x_{n-1} &0 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\]
‘\(x_{i}-x_{i-1}=\epsilon\)’이라는 점을 감안하여 canonical commutation relation을 써보면 : \[\hat{x}\hat{p} – \hat{p}\hat{x} = \frac{i\hbar}{2}\begin{pmatrix} ⋱ & & & & & & \\ & 0&1 &0 &0 &0 & \\ & 1&0 &1 &0 &0 & \\ \cdots &0 &1 &0 &1 &0 &\cdots \\ &0 &0 &1 &0 &1 & \\ &0 &0 &0 &1 &0 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\]
전개할 수 있는건 여기까지다. 지금부터는 앞서 미분행렬 관계식을 분석 할 때 했듯이 ‘의미’를 살펴보아야 한다.
위 행렬을 column vector 형태로 구성된 함수 \(f(x)\)에 적용했을 때, \(n\)행에 대한 계산값은 \(i\hbar \frac{f(x_{n+1})+f(x_{n-1})}{2}\)이다. 그런데 미분계수를 정의하는 상황에선 \(\frac{f(x_{n+1})+f(x_{n-1})}{2}\)의 값은 \(f(x_n)\)의 값과 정확히 같다.
미분계수를 정의 할 때의 \(\epsilon\)값은 \(x\)에서 \(\pm \epsilon\) 만큼 떨어진 범위에서 함수가 그 지점의 접선과 구분 할 수 없을 정도로 충분히 작은 값이다. 그러한 상황에서 \(f(x_{n\pm1})\)의 값은 \(f(x_{n}) \pm f'(x_n)\epsilon\)이므로, \(f(x_{n+1})+f(x_{n-1}) = 2f(x_n)\) 인 것이다.
이러한 ‘의미’에 입각해서 canonical commutation relation을 다시 써보면 : \[\hat{x}\hat{p} – \hat{p}\hat{x} = i\hbar\begin{pmatrix} ⋱ & & & & & & \\ & 1&0 &0 &0 &0 & \\ & 0&1 &0 &0 &0 & \\ \cdots &0 &0 &1 &0 &0 &\cdots \\ &0 &0 &0 &1 &0 & \\ &0 &0 &0 &0 &1 & \\ & & & & & & ⋱ \end{pmatrix}\]
단위행렬을 생략하면 : \[\hat{x}\hat{p} – \hat{p}\hat{x} = i\hbar\]
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